欧洲文艺复兴之后，科学也也迎来大发展时代，而出于实际的需要，天文和航海等领域的研究更是进行得如火如荼。但到了十六世纪后，科学家们往往会被一个问题所困扰，那就是处理数据时所进行的复杂数字运算。为此，不少数学家都在寻找一种可以减少计算量的更先进的数字处理方法，对数的概念也就应运而生。以今天的眼光来看，对数的发明无疑是数学计算史上革命性的里程碑事件。

对数的概念萌芽于德国数学家施蒂费尔(Stifel)，他在自己1544年的著作《整数算术》中详细探讨了几何级数1，r,r^2,r^3……中的各项与其指数之间的关系，例如我们今天所熟知的两数相乘所得之数的指数为原两数指数之和，更进一步，他还将这种运算规律推广到了指数为负数和分数的情形。如今这样的规律初中学生都已熟知，但在施蒂费尔的时代，这样的问题仍是模糊的，甚至在当时并没有“指数”这样的概念。但可惜的是，限于时代的陈旧观念，施蒂费尔并没有提出类似于对数的概念，遗憾地错失了这次数学大发现和名垂千古的机会。

发明，或者说发现对数的重要功劳当属苏格兰数学家纳皮尔。纳皮尔(John Napier,1550~1617)本是苏格兰地区的贵族，对天文学尤其是相关的计算很有兴趣，擅长于把天文问题转化为球面三角的问题。如今没有资料显示纳皮尔产生对数概念的具体过程，但这显然与他长期从事天文计算研究相关。大约在1594年，纳皮尔得到了对数概念的雏形，为此他专门写信将想法告诉了当时著名的天文学家第谷(Tycho Brahe,1546~1601,近代天文学奠基人，开普勒的老师)。

而后经过长时间的思考，纳皮尔的对数概念开始逐渐清晰起来，和当时的传统做法一样，纳皮尔需要著作来详细阐释他的思想，为此他完成了两本著作：《论述对数的奇迹》(1614)和《做出对数的奇迹》(1619)。纳皮尔的出发点与之前的施蒂费尔完全不同，他借助了物理中的直线运动和连续几何变量来引入对数。

纳皮尔的思路大致如下：

假定质点P沿着一有限直线AZ运动，另一质点Q沿着一无限长直线 A'Z'运动。两个质点开始运动时的初速度相同，Q的速度保持不变，而P的速度则以如下方式变化：在其路径上任意一点B的速度与该点到终点的距离即|BZ|成正比，设比例系数为1。如果当P点位于B时，Q点位于B'，则将|A'B'|称为|BZ|的对数。

但值得注意的是，在纳皮尔所处的时代里并没有微积分理论，所以关于运动，尤其是速度，无法给出准确的数学描述，因此纳皮尔的定义以今天的眼光来看并不够严格，而且实际上，他给出的描述比上述还要复杂许多。为了使得上述描述看起来简单一些，我们只需利用非常少量的微积分语言如下：

令AZ=a，BZ=y，A'B'=x，因此AB=a-y。

以t表示运动时间，于是P点在B处的速度可表示为d(a-y)/dt。

那么由题设条件，有d(a-y)/dt=y。

再由初始条件：t=0时y=a。

最终解上述的常微分方程得：x=a(lna-lny)。

而按照定义，x就是y的对数。

在没有指数概念和微积分的时代里，纳皮尔能够突破传统束缚给出对数的定义，的确是算得上是居功甚伟。不仅如此，纳皮尔还将自己的发明命名为“对数(Logarithm)”，意思是“比产生的数”，而这一命名也沿用至今。而对数的发明也产生了数学史上的奇观，那就是更为复杂的对数却比简单又明确的指数更先被定义出来。直到1728年，伟大的数学家欧拉才首次明确指出对数和指数间的互逆关系，他也首次提出如今我们常用的自然对数的概念，此时距对数的发明已过百年之久。而我们如今所使用的的对数符号则是意大利著名数学家，积分学先驱卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri ,1598～1647)首先提出的。

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