1、分数乘法一、分数乘法（一）、分数乘法的计算法则：分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。

2、（整数和分母约分）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

3、3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

(资料图片)

4、注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

5、（二）、规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

6、 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

7、 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。

8、（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

9、（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

10、乘法交换律： a × b = b × a 乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c二、分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、“是”、“比”的后面2、求一个数的几倍： 一个数×几倍； 求一个数的几分之几是多少： 一个数× 。

11、3、写数量关系式技巧： （1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”（2）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量三、倒数倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。

12、强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。

13、（要说清谁是谁的倒数）。

14、2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

15、（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。

16、（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

17、（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。

18、3、1的倒数是1； 0没有倒数。

19、 因为1×1=1；0乘任何数都得0， （分母不能为0）4、 对于任意数 ，它的倒数为 ；非零整数 的倒数为 ；分数 的倒数是 ； 5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。

20、分数除法一、 分数除法 分数除法的意义： 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

21、2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

22、3、 规律（分数除法比较大小时）：（1）、当除数大于1，商小于被除数； （2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；（3）、当除数等于1，商等于被除数。

23、4、 “ ”叫做中括号。

24、一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。

25、二、分数除法解决问题（未知单位“1”的量（用除法）： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。

26、 ）数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

27、（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： ① 求多几分之几：大数÷小数 – 1 ② 求少几分之几： 1 - 小数÷大数 或① 求多几分之几（大数-小数）÷小数② 求少几分之几：（大数-小数）÷大数三、比和比的应用（一）、比的意义比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

28、2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

29、比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

30、例如 15 ：10 = 15÷10= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） ∶ ∶ ∶ ∶ 前项 比号 后项 比值3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。

31、也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。

32、例： 路程÷速度=时间。

33、4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

34、比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

35、5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

36、6、　比和除法、分数的联系： 比 前 项 比号“：” 后 项 比值除 法 被除数 除号“÷” 除 数 商分 数 分 子 分数线“—” 分 母 分数值7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。

37、8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

38、 体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

39、（二）、比的基本性质根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

40、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。

41、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。

42、2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

43、3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

44、4.化简比： ①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

45、（1） ②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。

46、③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。

47、（2）用求比值的方法。

48、注意: 最后结果要写成比的形式。

49、如： 15∶10 = 15÷10 = = 3∶25．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。

50、这种方法通常叫做按比例分配。

51、如： 已知两个量之比为 ，则设这两个量分别为 。

52、6、 路程一定，速度比和时间比成反比。

53、（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

54、（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3） 圆一、 认识圆圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

55、2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

56、一般用字母O表示。

57、它到圆上任意一点的距离都相等．3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

58、一般用字母r表示。

59、把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

60、4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

61、一般用字母d表示。

62、直径是一个圆内最长的线段。

63、5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

64、6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。

65、所有的半径都相等，所有的直径都相等。

66、7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的 。

67、用字母表示为：d＝2r或r ＝ 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

68、折痕所在的这条直线叫做对称轴。

69、（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。

70、这些图形都是轴对称图形。

71、10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

72、只有2条对称轴的图形是： 长方形只有3条对称轴的图形是： 等边三角形只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。

73、二、圆的周长圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

74、用字母C表示。

75、2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。

76、发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。

77、3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

78、用字母π（pai） 表示。

79、（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。

80、圆周率π是一个无限不循环小数。

81、在计算时，一般取π ≈ 3.14。

82、（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。

83、（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

84、4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π或C=2π r r = C ÷ 2π5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

85、 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

86、6、区分周长的一半和半圆的周长：（1） 周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即 π r （2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。

87、 计算方法：πr＋2r 三、圆的面积圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

88、 用字母S表示。

89、2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

90、顶点在圆心的角叫做圆心角。

91、3、圆面积公式的推导：（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。

92、（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。

93、（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

94、 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 × 宽所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径 S圆 = πr × r 圆的面积公式： S圆 = πr2 4、环形的面积： 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。

95、（R＝r＋环的宽度．）S环 = πR²－πｒ²　 或环形的面积公式： S环 = π（R²－ｒ²）。

96、5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。

97、而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。

98、 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。

99、6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。

100、 例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶97、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。

101、反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。

102、9、确定起跑线：（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。

103、（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。

104、（因此起跑线不同）（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。

105、1常用各π值结果： π = 3.142π = 6.28 3π = 9.42 5π = 15.7 6π = 18.84 7π = 21.98 9π = 28.2610π = 31.4 16π = 50.24 36π = 113.0464π = 200.9696π = 301.44 4π = 12.56 8π = 25.12 25π = 78.512、常用平方数结果 = 121 = 144 = 169 = 196 = 225 = 256 = 289 = 324 = 361 百分数一、百分数的意义和写法百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

106、百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

107、2、 千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。

108、3、 百分数和分数的主要联系与区别：（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。

109、（2） 区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。

110、②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。

111、4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。

112、二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

113、2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。

114、 （二）百分数的和分数的互化百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。

115、2、分数化成百分数：① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。

116、②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

117、（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化 = 0.5 = 50% = 0.2 = 20% = 0.625 = 62.5% = 0.25 = 25% = 0.4 = 40% = 0.125 = 12.5% = 0.75 = 75% = 0.6 = 60% = 1.375 = 37.5% = 0.0625 = 6.25% = 0.8 = 80% = 0.875 = 87.5% = 0.04 = 4﹪ = 0.08 = 8﹪ = 0.12 = 12﹪ = 0.16 = 16﹪ 三、用百分数解决问题（一）一般应用题常见的百分率的计算方法： ①合格率 = ②发芽率 = ③出勤率 = ④达标率 = ⑤成活率 = ⑥出粉率 = ⑦烘干率 = ⑧含水率 = 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。

118、（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。

119、）2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同： （1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。

120、 解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

121、（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量 4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100% 或：① 求多百分之几：(大数-小数)÷小数 ② 求少百分之几：（大数-小数）÷大数 （二）、折扣折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。

122、通称“打折”。

123、几折就表示十分之几，也就是百分之几十。

124、例如八折= =80﹪,六折五=0.65=65﹪2、　一成是十分之一，也就是10%。

125、三成五就是十分之三点五，也就是35%（三）、纳税纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

126、2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。

127、国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。

128、3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

129、4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

130、5、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率（四）利息存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

131、 2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。

132、3、本金：存入银行的钱叫做本金。

133、4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

134、5、利率：利息与本金的比值叫做利率。

135、6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）扇形统计图一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。

136、也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。

137、 二、常用统计图的优点：条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。

138、2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。

139、3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。

140、三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。

141、（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。

142、）圆柱与圆锥一、圆柱的特征：圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面，底面是平面，侧面是曲面，。

143、2、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。

144、圆柱的高有无数条。

145、3、圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，当底面周长和高相等时，侧面沿高展开后是一个正方形。

146、4、圆柱的侧面积 = 底面周长×高 即S侧=Ch 或 2πr×h 5、圆柱的表面积 = 圆柱的侧面积 +底面积×2 即S表=S侧+S底×2或2πr×h + 2×πr26、圆柱的体积=圆柱的底面积×高， 即V=sh或 πr2×h 7、将一张长方形围成圆柱有两种方法，将一张长方形进行旋转一般也有两种。

147、（进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。

148、这种取近似值的方法叫做进一法。

149、）二、圆锥的特征：圆锥只有一个底面，底面是个圆。

150、圆锥的侧面是个曲面。

151、2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

152、圆锥只有一条高。

153、（测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。

154、）3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

155、4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，即V锥= Sh 或V锥= πr2×h5、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积（求侧面积）；②、压路机压过路面长度（求底面周长）；③、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；④、厨师帽（求侧面积和一个底面积）；通风管（求侧面积）。

156、6、圆柱和圆锥的特征 圆柱 圆锥底面 两个底面完全相同，都是圆形。

157、 一个底面，是圆形。

158、侧面 曲面，沿高剪开，展开后是长方形。

159、 曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。

160、高 两个底面之间的距离，有无数条。

161、 顶点到底面圆心的距离，只有一条。

162、常用单位换算长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 重量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒。

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